Funciones reales : Memo

Definición de funciones reales

Una función real de A a B se define dando :

• A: conjunto inicial
• B: conjunto de llegada
• y una correspondencia que permite asociar a cualquier elemento x de A, un elemento y de B como máximo.

Funciones pares e impares

• Una función es par en `RR` si para cualquier `x in RR` f(x)=f(-x)
• Una función es impar en `RR` si para cualquier `x in RR` f(-x)=-f(x)

La calculadora permite determinar si una función es par o impar.

Representación gráfica de funciones reales

El conjunto de puntos con coordenadas M(x; y), donde y es la imagen de x por f, se llama curva representativa de una función real f. He aquí, por ejemplo, la representación gráfica de la función f definida por `f(x)=x^2-3` obtenida con la calculadora.

Representación gráfica de una función par

En un marco de referencia ortogonal, cuando una función es par, el eje y es un eje de simetría de su representación gráfica.

Representación gráfica de una función impar

En un marco de referencia, cuando una función es impar, el origen O es un centro de simetría de la representación gráfica.

Funciones crecientes y decrecientes

f es una función y I es un intervalo contenido en su conjunto de definición.

• Decir que f es estrictamente creciente sobre I significa que para todos los números reales u y v en el intervalo I, la desigualdad u > v implica f(u) > f(v).
• Decir que f es estrictamente decreciente sobre I significa que para todos los números reales u y v en el intervalo I, la desigualdad u > v implica f(u) < f(v).

Cálculo de la derivada de una función

Fórmulas habituales para calcular la derivada de una función

• Fórmula para calcular la derivada de una función suma: (u+v)' = u'+v'
• Fórmula para calcular la derivada de una función producto: (uv)' = u'v+uv'
• Fórmula para calcular la derivada de una función multiplicada por una constante: (ku)' = ku'
• Fórmula para calcular la derivada inversa de una función: `(1/v)'` = `-(v')/v^2`
• Fórmula para calcular la derivada de la relación de dos funciones: `(u/v)'` = `(u'v-uv')/v^2`
• Fórmula para el cálculo de la derivada de una función compuesta : `(u@v)'= v'*u'@v`

Tabla de derivadas de funciones básicas

Para diferenciar una función, es necesario conocer las reglas de cálculo y las siguientes fórmulas:

Tabla de derivadas de funciones básicas

derivada(`k;x`)	`0`
derivada(`x`)	`1`
derivada(`x^n`)	`n*x^(n-1)`
derivada(`1/x`)	`-1/x^2`
derivada(`1/x^2`)	`-2/x^3`
derivada(`sqrt(x)`)	`1/(2*sqrt(x))`
derivada(`abs(x)`)	`1`
derivada(`"arccos"(x)`)	`-1/sqrt(1-(x)^2)`
derivada(`"arcsin"(x)`)	`1/sqrt(1-(x)^2)`
derivada(`"arctan"(x)`)	`1/sqrt(1-(x)^2)`
derivada(`"ch"(x)`)	`sh(x)`
derivada(`cos(x)`)	`-sin(x)`
derivada(`"cotan"(x)`)	`-1/sin(x)^2`
derivada(`"coth"(x)`)	`-1/(sh(x))^2`
derivada(`exp(x)`)	`exp(x)`
derivada(`ln(x)`)	`1/(x)`
derivada(`log(x)`)	`1/(ln(10)*x)`
derivada(`"sh"(x)`)	`ch(x)`
derivada(`sin(x)`)	`cos(x)`
derivada(`tan(x)`)	`1/cos(x)^2`
derivada(`"th"(x)`)	`1/(ch(x))^2`

Aplicando estas fórmulas y utilizando esta tabla, es posible calcular la derivada de cualquier función. Son estos métodos de cálculo los que utiliza la calculadora para encontrar las derivadas de las funciones.

Ecuación de la tangente a una curva en un punto

C es la curva representativa de una función f derivable en un punto a. La tangente a C en el punto A(a;f(a)) es la recta que pasa por A cuyo coeficiente de dirección es `f'(a)`.
Una ecuación de la tangente a C en el punto A(a;f(a)) es :
`y = f(a) + f'(a)(x-a)`.

Funciones crecientes, decrecientes y cálculo diferencial.

Sea f una función derivable en un intervalo I.

• f es creciente en I si, y sólo si, su derivada es estrictamente positiva para cualquier x en I.
• f es decreciente en I si, y sólo si, su derivada es estrictamente negativa para cualquier x en I.
• f es constante en I si, y sólo si, su derivada se cancela para cualquier x en I.

Cálculo de las primitivas de una función

Fórmulas de cálculo de las primitivas

Tabla de primitivas de las funciones habituales

antiderivada(`k;x`)	`kx + c`
antiderivada(`x`)	`x^2/2 + c`
antiderivada(`x^n`)	`x^(n+1)/(n+1) + c`
antiderivada(`1/x^n`)	`-1/((n-1)*x^(n-1)) + c`
antiderivada(`abs(x)`)	`x/2 + c`
antiderivada(`"arccos"(x)`)	`x*arccos(x)-sqrt(1-(x)^2) + c`
antiderivada(`"arcsin"(x)`)	`x*arcsin(x)+sqrt(1-(x)^2) + c`
antiderivada(`"arctan"(x)`)	`x*arctan(x)-1/2*ln(1+(x)^2) + c`
antiderivada(`"ch"(x)`)	`sh(x) + c`
antiderivada(`cos(x)`)	`sin(x) + c`
antiderivada(`"cotan"(x)`)	`ln(sin(x)) + c`
antiderivada(`"coth"(x)`)	`ln(sh(x)) + c`
antiderivada(`exp(x)`)	`exp(x) + c`
antiderivada(`ln(x)`)	`x*ln(x)-x + c`
antiderivada(`log(x)`)	`(x*log(x)-x)/ln(10) + c`
antiderivada(`"sh"(x)`)	`ch(x) + c`
antiderivada(`sin(x)`)	`-cos(x) + c`
antiderivada(`sqrt(x)`)	`2/3*(x)^(3/2) + c`
antiderivada(`tan(x)`)	`-ln(cos(x)) + c`
antiderivada(`"th"(x)`)	`ln(ch(x)) + c`

Las siguientes convenciones se usan en la tabla de antiderivadas: c representa una constante.

La calculadora permite obtener una primitiva para muchas funciones comunes.

Funciones polinómicas

Un polinomio (también llamado función polinómica) es una función definida en `RR` que puede escribirse como `x -> a_n*x^n+...+ a_(n-1)*x^(n-1)+...+a_1*x+a_0` donde n es un número natural y `a_0,a_1,...,a_n` son números reales.
Si `a_n!=0`, entonces n es el grado del polinomio, que se puede obtener utilizando la calculadora de grados de polinomios .

Algunos polinomios se han estudiado en particular, como los polinomios de grado 2. Un polinomio de grado 2 se suele denominar trinomio de grado 2. Utilizando métodos de cálculo especiales basados en el discriminante, es posible encontrar las raíces de un trinomio (la solución de la ecuación de segundo grado) .

Como con todas las funciones, es posible dibujar la curva representativa de una función trinómica, que se denomina parábola.

Otras familias de funciones

Otros tipos notables de funciones son las funciones trigonométricas, muy utilizadas en muchos campos.