Funções reais : Lembrete

Definição de funções reais

Uma função real de A a B é definida dando :

• A: conjunto inicial
• B: conjunto de chegada
• e uma correspondência que permite associar a qualquer elemento x de A, um elemento y de B, no máximo.

Funções ímpares e pares

• Uma função está mesmo em `RR` se para qualquer `x in RR` f(x)=f(-x)
• Uma função é estranha em `RR` se para qualquer `x in RR` f(-x)=-f(x)

A calculadora pode ser usada para determinar se uma função é par ou ímpar.

Representação gráfica de funções reais

O conjunto de pontos com as coordenadas M(x; y), onde y é a imagem de x por f, é chamado de curva representativa de uma função real f. Aqui, por exemplo, está a representação gráfica da função f definida por `f(x)=x^2-3` obtida com a calculadora.

Representação gráfica de uma função par.

Em um quadro de referência ortogonal, quando uma função é par, o eixo y é um eixo de simetria de sua representação gráfica.

Representação gráfica de uma função ímpar

Em um quadro de referência, quando uma função é estranha, a origem O é um centro de simetria da representação gráfica.

Funções crescentes e decrescentes.

f é uma função e I é um intervalo contido em seu conjunto de definições.

• Dizer que f está aumentando estritamente sobre I significa que para todos os números reais u e v no intervalo I, a desigualdade u > v implica `f(u) > f(v)`.
• Dizer que f está diminuindo estritamente sobre I significa que para todos os números reais u e v no intervalo I, a desigualdade u > v implica `f(u) < f(v)`.

Cálculo da derivada de uma função

Fórmulas usuais a serem usadas para calcular a derivada de uma função

• Fórmula para calcular a derivada de uma soma de funções: (u+v)' = u'+v'
• Fórmula para o cálculo do derivado de um produto funcional: (uv)' = u'v+uv'
• Fórmula para calcular a derivada de uma função multiplicada por uma constante: (ku)' = ku'
• Fórmula para calcular a derivada inversa de uma função: `(1/v)'` = `-(v')/v^2`
• Fórmula para o cálculo da derivada do rácio de duas funções: `(u/v)'` = `(u'v-uv')/v^2`
• Fórmula para calcular a derivada de uma função composta : `(u@v)'= v'*u'@v`

Tabela de derivadas de funções comuns

Para diferenciar uma função, é necessário conhecer as regras de cálculo e as seguintes fórmulas:

Tabela de derivadas de funções comuns

derivada(`k;x`)	`0`
derivada(`x`)	`1`
derivada(`x^n`)	`n*x^(n-1)`
derivada(`1/x`)	`-1/x^2`
derivada(`1/x^2`)	`-2/x^3`
derivada(`sqrt(x)`)	`1/(2*sqrt(x))`
derivada(`abs(x)`)	`1`
derivada(`"arccos"(x)`)	`-1/sqrt(1-(x)^2)`
derivada(`"arcsin"(x)`)	`1/sqrt(1-(x)^2)`
derivada(`"arctan"(x)`)	`1/sqrt(1-(x)^2)`
derivada(`"ch"(x)`)	`sh(x)`
derivada(`cos(x)`)	`-sin(x)`
derivada(`"cotan"(x)`)	`-1/sin(x)^2`
derivada(`"coth"(x)`)	`-1/(sh(x))^2`
derivada(`exp(x)`)	`exp(x)`
derivada(`ln(x)`)	`1/(x)`
derivada(`log(x)`)	`1/(ln(10)*x)`
derivada(`"sh"(x)`)	`ch(x)`
derivada(`sin(x)`)	`cos(x)`
derivada(`tan(x)`)	`1/cos(x)^2`
derivada(`"th"(x)`)	`1/(ch(x))^2`

Aplicando estas fórmulas e utilizando esta tabela, é possível calcular a derivada de qualquer função. São estes métodos de cálculo que a calculadora utiliza para encontrar as derivadas de funções.

Equação da tangente a uma curva em um ponto

C é a curva representativa de uma função f derivável em um ponto a. A tangente a C no ponto A(a;f(a)) é a linha reta através de A cujo coeficiente de direcionamento é `f'(a)`.
Uma equação da tangente a C no ponto A(a;f(a)) é:
`y = f(a) + f'(a)(x-a)`.

Funções crescentes, decrescentes e cálculo diferencial.

Que f seja uma função derivável em um intervalo I.

• f está aumentando em I se, e somente se, sua derivada for estritamente positiva para qualquer x em I.
• f está diminuindo em I se, e somente se, sua derivada for estritamente negativa para todos os x de I.
• f é constante em I se, e somente se, su derivada se cancela para todos os x em I.

Calculando das primitivas de uma função

Fórmulas de cálculo das primitivas

Tabela de antiderivada das funções habituais

primitiva(`k;x`)	`kx + c`
primitiva(`x`)	`x^2/2 + c`
primitiva(`x^n`)	`x^(n+1)/(n+1) + c`
primitiva(`1/x^n`)	`-1/((n-1)*x^(n-1)) + c`
primitiva(`abs(x)`)	`x/2 + c`
primitiva(`"arccos"(x)`)	`x*arccos(x)-sqrt(1-(x)^2) + c`
primitiva(`"arcsin"(x)`)	`x*arcsin(x)+sqrt(1-(x)^2) + c`
primitiva(`"arctan"(x)`)	`x*arctan(x)-1/2*ln(1+(x)^2) + c`
primitiva(`"ch"(x)`)	`sh(x) + c`
primitiva(`cos(x)`)	`sin(x) + c`
primitiva(`"cotan"(x)`)	`ln(sin(x)) + c`
primitiva(`"coth"(x)`)	`ln(sh(x)) + c`
primitiva(`exp(x)`)	`exp(x) + c`
primitiva(`ln(x)`)	`x*ln(x)-x + c`
primitiva(`log(x)`)	`(x*log(x)-x)/ln(10) + c`
primitiva(`"sh"(x)`)	`ch(x) + c`
primitiva(`sin(x)`)	`-cos(x) + c`
primitiva(`sqrt(x)`)	`2/3*(x)^(3/2) + c`
primitiva(`tan(x)`)	`-ln(cos(x)) + c`
primitiva(`"th"(x)`)	`ln(ch(x)) + c`

As seguintes convenções são usadas na matriz antiderivada: c representa uma constante.

A calculadora permite a obtenção de uma primitiva para muitas funções comuns.

Funções polinomiais

Um polinômio (também chamado de função polinomial) é uma função definida em `RR` que pode ser escrita como `x -> a_n*x^n+...+ a_(n-1)*x^(n-1)+...+a_1*x+a_0` m que n é um número natural e `a_0,a_1,...,a_n` são números reais.
Se `a_n!=0`, então n é o grau do polinômio, que pode ser obtido usando a calculadora de grau polinomial.

Alguns polinômios foram estudados em particular, como os polinômios de grau 2. Um polinômio de grau 2 é geralmente chamado de trinômio de grau 2. Usando métodos de cálculo especiais baseados no discriminante, é possível encontrar as raízes de um trinômio (a solução da equação de segundo grau) .

Como em todas as funções, é possível desenhar a curva representativa de uma função trinomial. Essa curva é chamada de parábola.

Outras famílias de funções

Outros tipos notáveis de funções incluem as funções trigonométricas que são amplamente usadas em muitos campos.