Reellwertigen Funktionen : Merkzettel

Reelle Funktionen Definition

Eine reelle Funktion von A nach B ist definiert durch die Angabe von :

Gerade und ungerade Funktionen

Mithilfe des Rechners kann man feststellen, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist.

Grafische Darstellung von reellen Funktionen

Die Menge der Punkte mit den Koordinaten M(x; y), wobei y das Bild von x durch f darstellt, wird als repräsentative Kurve einer reellen Funktion f bezeichnet. Hier ist zum Beispiel die grafische Darstellung der Funktion f, die durch `f(x)=x^2-3` definiert ist, die wir mithilfe des Taschenrechners erhalten haben.

Grafische Darstellung einer geraden Funktion.

Wenn eine Funktion in einem orthogonalen Koordinatensystem gerade ist, ist die Ordinatenachse eine Symmetrieachse ihrer grafischen Darstellung.

Grafische Darstellung einer ungeraden Funktion

Wenn eine Funktion in einem Koordinatensystem ungerade ist, ist der Nullpunkt O ein Symmetriezentrum ihrer grafischen Darstellung.

Steigende und fallende Funktionen.

f ist eine Funktion und I ein Intervall, das in seiner Definitionsmenge enthalten ist.

Berechnung der Ableitung einer Funktion

Übliche Formeln, die zur Berechnung der Ableitung einer Funktion zu verwenden sind

Tabelle der Ableitungen gemeinsamer Funktionen

Es ist auch notwendig, die üblichen Funktionen zu kennen, die in der folgenden Tabelle aufgeführt sind:

Tabelle der Ableitungen gemeinsamer Funktionen
ableitungsrechner(`k;x`)`0`
ableitungsrechner(`x`)`1`
ableitungsrechner(`x^n`)`n*x^(n-1)`
ableitungsrechner(`1/x`)`-1/x^2`
ableitungsrechner(`1/x^2`)`-2/x^3`
ableitungsrechner(`sqrt(x)`)`1/(2*sqrt(x))`
ableitungsrechner(`abs(x)`)`1`
ableitungsrechner(`"arccos"(x)`)`-1/sqrt(1-(x)^2)`
ableitungsrechner(`"arcsin"(x)`)`1/sqrt(1-(x)^2)`
ableitungsrechner(`"arctan"(x)`)`1/sqrt(1-(x)^2)`
ableitungsrechner(`"ch"(x)`)`sh(x)`
ableitungsrechner(`cos(x)`)`-sin(x)`
ableitungsrechner(`"cotan"(x)`)`-1/sin(x)^2`
ableitungsrechner(`"coth"(x)`)`-1/(sh(x))^2`
ableitungsrechner(`exp(x)`)`exp(x)`
ableitungsrechner(`ln(x)`)`1/(x)`
ableitungsrechner(`log(x)`)`1/(ln(10)*x)`
ableitungsrechner(`"sh"(x)`)`ch(x)`
ableitungsrechner(`sin(x)`)`cos(x)`
ableitungsrechner(`tan(x)`)`1/cos(x)^2`
ableitungsrechner(`"th"(x)`)`1/(ch(x))^2`

Durch Anwendung dieser Formeln und unter Verwendung dieser Tabelle kann die Ableitung einer beliebigen Funktion berechnet werden. Es sind diese Berechnungsmethoden, die der Taschenrechner verwendet, um die Ableitungen von Funktionen zu finden.

Gleichung der Tangente an eine Kurve in einem Punkt.

C ist die repräsentative Kurve einer Funktion f, die in einem Punkt a ableitbar ist. Die Tangente an C im Punkt A(a;f(a)) ist die Gerade, die durch A verläuft und deren Leitkoeffizient `f'(a)` ist.
Eine Gleichung für die Tangente an C im Punkt A(a;f(a)) ist :
`y = f(a) + f'(a)(x-a)`.

Steigende , fallende Funktionen und Differentialrechnung.

Sei f eine Funktion, die auf einem Intervall I ableitbar ist.

Berechnung der Stammfunktionen einer Funktion

Formeln zur Berechnung von Stammfunktionen

abelle der Stammfunktion der üblichen Funktionen
stammfunktion(`k;x`)`kx + c`
stammfunktion(`x`)`x^2/2 + c`
stammfunktion(`x^n`)`x^(n+1)/(n+1) + c`
stammfunktion(`1/x^n`)`-1/((n-1)*x^(n-1)) + c`
stammfunktion(`abs(x)`)`x/2 + c`
stammfunktion(`"arccos"(x)`)`x*arccos(x)-sqrt(1-(x)^2) + c`
stammfunktion(`"arcsin"(x)`)`x*arcsin(x)+sqrt(1-(x)^2) + c`
stammfunktion(`"arctan"(x)`)`x*arctan(x)-1/2*ln(1+(x)^2) + c`
stammfunktion(`"ch"(x)`)`sh(x) + c`
stammfunktion(`cos(x)`)`sin(x) + c`
stammfunktion(`"cotan"(x)`)`ln(sin(x)) + c`
stammfunktion(`"coth"(x)`)`ln(sh(x)) + c`
stammfunktion(`exp(x)`)`exp(x) + c`
stammfunktion(`ln(x)`)`x*ln(x)-x + c`
stammfunktion(`log(x)`)`(x*log(x)-x)/ln(10) + c`
stammfunktion(`"sh"(x)`)`ch(x) + c`
stammfunktion(`sin(x)`)`-cos(x) + c`
stammfunktion(`sqrt(x)`)`2/3*(x)^(3/2) + c`
stammfunktion(`tan(x)`)`-ln(cos(x)) + c`
stammfunktion(`"th"(x)`)`ln(ch(x)) + c`
Die folgenden Konventionen werden im Stammfunktionen Array verwendet: c steht für eine Konstante.

Taschenrechner verwendet, um die Ableitungen von Funktionen zu finden.

Polynomfunktionen

Ein Polynom (auch Polynomfunktion genannt) ist eine auf ℝ definierte Funktion, die in der Form `x -> a_n*x^n+...+ a_(n-1)*x^(n-1)+...+a_1*x+a_0` geschrieben werden kann, wobei n eine natürliche Zahl ist und `a_0,a_1,...,a_n` reelle Zahlen sind.
Wenn `a_n!=0`, dann ist n der Grad des Polynoms, er kann mit dem Polynomgrad-Rechner ermittelt werden.

Unter den Polynomen wurden einige besonders untersucht, z. B. Polynome des Grades 2. Ein Polynom zweiten Grades wird häufig als Trinom zweiten Grades bezeichnet. Mithilfe spezieller Berechnungsmethoden, die auf der Diskriminante basieren, können die Wurzeln eines Trinoms (Lösung der Gleichung zweiten Grades) gefunden werden .

Wie bei allen Funktionen kann man auch für eine Trinomfunktion eine Kurve zeichnen, ie als Parabel bezeichnet wird.

Andere Funktionsfamilien

Zu den weiteren bemerkenswerten Funktionstypen gehören auch die trigonometrischen Funktionen, die in vielen Bereichen sehr häufig verwendet werden.

Andere Ressourcen