Brüche : Merkzettel

Definition

Für jedes Paar ganzer Zahlen a, b mit b ungleich Null bezeichnet man das Verhältnis a:b als Bruch, man notiert es mit `a/b`, a wird als Zähler und b als Nenner bezeichnet.

Ein Bruch wird auch als rationale Zahl bezeichnet.

• Bemerkung :`a/b`=a:b
• Beispiel :`1/2` = 1:2 = 0,5

Vereinfachung eines Bruchs

Um einen Bruch zu vereinfachen, zerlegt man zunächst den Zähler und den Nenner in das Produkt von Primzahlen. Wenn im Zähler und im Nenner dieselbe Zahl vorkommt, kann man den Bruch vereinfachenn.

Beispiel : `56/32` = `(2*2*2*7)/(2*2*2*2*2)` = `7/4`

Irreduzibler Bruch

Ein Bruch heißt irreduzibel, wenn sein Zähler und sein Nenner Primzahlen sind. Pour mettre une fraction sous sa forme irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur ggt .

Gleiche gebrochene Schreibweisen

• Wenn man den Zähler und den Nenner einer Bruchschreibung mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert, erhält man eine Bruchschreibung, die gleich ist.
• Wenn man den Zähler und den Nenner einer Bruchschreibweise durch dieselbe von Null verschiedene Zahl teilt, erhält man eine Bruchschreibweise, die ihr gleich ist.

Vergleich von Brüchen

• Gleichheit von Brüchen

Zwei Brüche sind gleich, wenn es möglich ist, vom einen zum anderen zu gelangen, indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert oder durch sie dividiert

• Die Brüche haben denselben Nenner.

Sie müssen nur die Zähler vergleichen.

• Die Brüche haben die gleichen Zähler

Der größte Bruch ist der mit dem kleinsten Zähler.

• Die Brüche haben unterschiedliche Zähler und Nenner

Man kommt auf den Fall zurück, dass die Nenner gleich sind, indem man die Bedingung für die Gleichheit eines Bruchs anwendet.

Es sind diese Rechentechniken, die der Bruchvergleicher in diesem Beispiel anwendet, um die Brüche `19/11` und `13/7` zu vergleichen.

• Vergleich der Brüche `19/11` und `13/7`.
1. Die beiden Brüche werden auf den gleichen Nenner reduziert.
2. Der gemeinsame Nenner ist 77.
3. Die äquivalenten Brüche sind daher `133/77` und `143/77`.
4. Wir vergleichen den Zähler der äquivalenten Brüche. Die größte Brüche ist die mit dem größten Zähler.
5. `133<143`
6. `133/77` hat den kleinsten Zähler, also die kleinste Brüche.
7. `133/77`<`143/77`
8. `19/11`<`13/7`

Addition von Brüchen mit demselben Nenner

Die Summe zweier Brüche mit demselben Nenner hat denselben Nenner, ihr Zähler ist gleich der Summe der Zähler.

Es gilt also die Formel:`a/k+b/k=(a+b)/k`

Das folgende Beispiel : `1/3+4/3` zeigt, wie man zwei Brüche addiert, die denselben Zähler haben.

• Fraktionales Schreiben des Ausdrucks `1/3+4/3` mit dem Bruchrechner
1. Um diese Bruchzahl zu berechnen, werden die Brüche auf den gleichen Nenner reduziert und dann die Zähler addiert.
1. Brüche haben den gleichen Nenner 3.
2. Wir fügen die Zählers hinzu.
2. Das Ergebnis der Berechnung ist: `1/3+4/3=5/3`

Addition von Brüchen mit unterschiedlichem Nenner

Man kürzt die Brüche mit demselben Nenner, um auf den Fall der Addition von Brüchen mit demselben Nenner zurückzukommen.

Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner

Die Differenz zweier Brüche mit demselben Nenner hat denselben Nenner, ihr Zähler ist gleich der Differenz der Zähler.

Es gilt also die Formel:`a/k-b/k=(a-b)/k`

Das folgende Beispiel : `4/3-2/3` zeigt, wie man zwei Brüche, die denselben Zähler haben, subtrahiert.

• Fraktionales Schreiben des Ausdrucks `4/3-2/3` mit dem Bruchrechner
1. Um diese Bruchdifferenz zu berechnen, werden die Brüche auf den gleichen Nenner reduziert und dann die Zähler subtrahiert.
1. Brüche haben den gleichen Nenner 3.
2. Wir ziehen die Zählers ab.
2. Das Ergebnis der Berechnung ist: `4/3-2/3=2/3`

Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichem Nenner

Man kürzt die Brüche mit demselben Nenner, um auf den Fall der Subtraktion von Brüchen mit demselben Nenner zurückzukommen.

Produkt von Brüchen

Das Produkt zweier Brüche ist gleich dem Produkt der Zähler über das Produkt der Nenner.

Beispiel :

`3/4*7/3` = `21/12`

Das folgende Beispiel `3/4*7/5` : zeigt, wie man zwei Brüche multipliziert.

• Fraktionales Schreiben des Ausdrucks `(3*7)/(4*5)` mit dem Bruchrechner
• Das Ergebnis der Berechnung ist: `(3*7)/(4*5)=21/20`

Division von Brüchen

Die Division durch einen Bruch ist gleichbedeutend mit der Multiplikation mit dem Kehrwert dieses Bruchs. Mithilfe dieser Regel ist es möglich, den Quotienten eines Bruchs in das Produkt eines Bruchs umzuwandeln und die Regeln zur Vereinfachung eines Produkts von Brüchen anzuwenden.

Beispiel:`(-8/3)/(2/3)` = `-8/3*3/2` = `-8/2` = -4