Geometrie : Merkzettel
Formeln zur Berechnung von Umfängen
Der Umfang einer geschlossenen Figur wird als die Länge ihres Umrisses definiert.
Umfang eines Kreises
Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreises lautet `P=2*pi*r`, wobei r für den Radius des Kreises steht.
Beispiel : Der
Umfang eines Kreises mit der Länge 1 ist gleich 2*pi
.
Umfang eines Rechtecks
Der Umfang eines Rechtecks wird durch die Formel `2*(L+l)` angegeben, wobei L die Länge und l die Breite einer Seite darstellt.
Durch Anwendung dieser Formel kann man überprüfen, dass der
Umfang eines Rechtecks mit der Länge 3 und der Breite 2 gleich 10 ist
.
Umfang eines Quadrats
Der Umfang eines Quadrats wird durch die Formel `4*a` angegeben,
wobei a die Länge einer Seite des Quadrats darstellt.
Mithilfe dieser Formel können wir zeigen, dass der
Umfang eines Quadrats mit der Länge 2 gleich 8 ist
.
Umfang eines Dreiecks
Der Umfang eines Dreiecks wird durch die Formel a+b+c angegeben,
wobei a, b und c die Länge jeder Seite des Dreiecks darstellen.
Anhand dieser Formel können wir sehen, dass der
Umfang eines Dreiecks mit den Seitenlängen 5, 6 und 7 gleich 18 ist
.
Formeln zur Berechnung von Flächeninhalten
Fläche eines Kreises
Die Fläche eines Kreises wird durch die Formel `pi*r^2` angegeben, wobei r für den Radius des Kreises steht.
Durch Anwendung dieser Formel kann man den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius 3 ermitteln .
Fläche eines Rechtecks
Die Fläche eines Rechtecks ist gleich dem Produkt seiner Seiten. Sie lässt sich mit der Formel `(L*l)` berechnen, wobei L die Länge und l die Breite einer Seite darstellt. Mithilfe dieser Formel können wir überprüfen, dass die Länge 3 und die Breite 6 beträgt .
Fläche eines Quadrats
Die Fläche eines Quadrats wird durch die Formel `a^2` angegeben, wobei a die Länge einer Seite des Quadrats darstellt.
Mithilfe dieser Formel kann man z. B. den Flächeninhalt eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 3 berechnen .
Fläche eines Dreiecks
Die Fläche eines Dreiecks kann mithilfe der Heronschen Formel berechnet werden, die wie folgt lautet: `S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)`, wobei a, b, c die Länge der Seiten des Dreiecks darstellen und p der halbe Umfang `p=(a+b+c)/2` ist.
Mit dieser Formel kann man zum Beispiel den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen, dessen Seitenlängen jeweils 3, 4 und 5 betragen .
Formeln zur Berechnung von Volumen
Volumen einer Kugel
Das Volumen einer Kugel wird durch die Formel `4/3*pi*r^3`, wobei r für den Radius der Kugel steht. Mit dieser Formel lässt sich zum Beispiel das Volumen einer Kugel mit dem Radius 3 berechnen.
Volumen eines rechtwinkligen Parallelepipeds
Das Volumen eines rechtwinkligen Quaders ergibt sich aus der Formel `(L*l*h)`, wobei L die Länge, l die Breite einer Seite und h die Höhe ist. Mithilfe dieser Formel kann man das Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds mit der Länge 3, der Breite 2 und der Höhe 4 berechnen.
Volumen eines Würfels
Das Volumen eines Würfels wird durch die Formel `l^3`angegeben, wobei l die Länge einer Seite darstellt. Durch Anwendung dieser Formel ist es möglich das Volumen eines Würfels zu ermitteln, der Seiten mit der Länge 3 hat.
Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras lautet wie folgt: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der gegenüberliegenden Seiten.
Betrachtet man das Dreieck ABC, das in A rechtwinklig ist, und setzt BC=a, AC=b, AB=c, dann schreibt man den Satz des Pythagoras
`BC^2=AB^2+AC^2` oder `a^2=b^2+c^2`.
Der Satz des Pythagoras hat eine Umkehrung, die wie folgt lautet: Wenn in einem Dreieck das Quadrat einer Seite gleich der Summe der Quadrate der gegenüberliegenden Seiten ist, dann ist das Dreieck rechtwinklig.
Durch Anwendung des Satzes von Pythagoras kann man z. B. die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen, dessen benachbarte Seiten die Längen 3 und 4 haben.