Géométrie : Mémento

Formules de calcul de périmètres

Le périmètre d’une figure fermée est défini comme la longueur de son contour.

Périmètre d'un cercle

La formule qui permet de calculer le périmètre d'un cercle est `P=2*pi*r`, où r représente le rayon du cercle.
Exemple : le périmètre d'un cercle de longueur 1 est égal à 2*pi.

Calculatrice de périmètres : 1

• Calcul du périmètre d'un carré de longueur `1`
1. La formule du périmètre d'un carré est `4*a`, où a est la longueur d'un coté.
2. avec `a=1`
3. `P=4=4`

Autres calculs sur les carrés : aire_carre(1) | perimetre(1) | surface(1)

• Calcul du périmètre d'un cercle de rayon `1`
1. La formule du périmètre d'un cercle est `2*pi*r`, où r est le rayon du cercle.
2. avec `r=1`
3. `P=2*pi=2*pi`

Autres calculs sur les cercles : aire_cercle(1) | perimetre(1) | surface(1)

Périmètre d'un rectangle

Le périmètre d'un rectangle est donné par la formule `2*(L+l)` où L représente la longueur et l la largeur d'un coté. En appliquant cette formule, il est possible de vérifier que le périmètre d'un rectangle de longueur est 3 et la largeur est 2 est égal 10.

Calculatrice de périmètres : 3;2

• Calcul du périmètre d'un rectangle dont la longueur est égale à `3` et la largeur est égale à `2`.
1. La formule du périmètre d'un rectangle est `P=2*(L+l)`, où L est la longueur et l la largeur.
2. Avec `L=3` et `l=2`, on obtient
3. `P=2*(3+2)=10`

Autres calculs sur les rectangles : aire_rectangle(2;3) | perimetre(2;3) | surface(2;3)

Périmètre d'un carré

Le périmètre d'un carré est donné par la formule `4*a` où a représente la longueur d'un coté du carré. En utilisant cette formule, on peut montrer que la périmètre d'un carré de longueur 2 égal 8.

Calculatrice de périmètres : 2

• Calcul du périmètre d'un carré de longueur `2`
1. La formule du périmètre d'un carré est `4*a`, où a est la longueur d'un coté.
2. avec `a=2`
3. `P=4*2=8`

Autres calculs sur les carrés : aire_carre(2) | perimetre(2) | surface(2)

• Calcul du périmètre d'un cercle de rayon `2`
1. La formule du périmètre d'un cercle est `2*pi*r`, où r est le rayon du cercle.
2. avec `r=2`
3. `P=2*2*pi=4*pi`

Autres calculs sur les cercles : aire_cercle(2) | perimetre(2) | surface(2)

Périmètre d'un triangle

Le périmètre d'un triangle est donné par la formule a+b+c où a, b et c représentent la longueur de chacun des cotés du triangle. À l'aide de cette formule, on peut voir que le périmètre d'un triangle dont les cotés ont pour longueur 5, 6, 7 est égal 18.

Calculatrice de périmètres : 5;6;7

• Calcul du périmètre d'un triangle dont les cotés mesurent : `5`, `6`, `7`
1. La formule du périmètre d'un triangle est P=a+b+c, où a, b, c représentent la longueur des cotés.
2. avec a=`5`, b=`6`, c=`7`
3. `P=5+6+7=18`

Autres calculs sur les triangles : surface(5;6;7)

Formules de calcul d'aires

Aire d'un cercle

L'aire d'un cercle est donnée par la formule `pi*r^2`, où r représente le rayon du cercle.

En appliquant cette formule, il est possible de trouver le l'aire d'un cercle de rayon 3.

Aire d'un rectangle

L'aire d'un rectangle est égal au produit de ses cotés, elle se calcule avec la formule `(L*l)`, où L représente la longueur et l la largeur d'un coté. En utilisant cette formule, on peut vérifier que la la longueur est 3 et la largeur est égale à 6.

Calcul de la surface d'une figure géométrique : 3;2

• Calcul de la surface d'un rectangle dont la longueur est égale à `3` et la largeur est égale à `2`.
1. La formule de la surface d'un rectangle est `S=(L*l)`, où L est la longueur et l la largeur.
2. Avec `L=3` et `l=2`, on obtient
3. `S=(L*l)=3*2=6`

Autres calculs sur les rectangles : perimetre_rectangle(2;3) | perimetre(2;3) | surface(2;3)

Aire d'un carré

L'aire d'un carré est donnée par la formule `a^2` où a représente la longueur d'un coté du carré.

À l'aide de cette formule, on peut par exemple calculer l'aire d'un carré dont la longueur d'un coté est 3.

Calcul de la surface d'une figure géométrique : 3

• Calcul de la surface d'un carré de longueur `3`
1. La formule de la surface d'un carré à partir de sa longueur est `S=a^2`
2. avec `a=3`, on obtient
3. `S=a^2=3^2=9`

Autres calculs sur les carrés : perimetre_carre(3) | aire_carre(3) | perimetre(3)

• Calcul de la surface d'un cercle de rayon `3`
1. La formule de la surface d'un cercle à partir de son rayon est `S=pi*r^2`
2. avec `r=3`, on obtient
3. `S=pi*r^2=pi*3^2=9*pi`

Autres calculs sur les cercles : perimetre_cercle(3) | aire_cercle(3) | perimetre(3)

Aire d'un triangle

L'aire d'un triangle peut être calculer grâce à la formule de Héron , qui s'écrit: `S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)`, où a, b, c représentent la longueur des cotés du triangle, et p est le demi périmètre `p=(a+b+c)/2`.

En employant cette formule, on peut par exemple calculer l'aire d'un triangle d'un triangle dont la longueur de chacun des cotés serait respectivement égale à 3, 4 et 5.

Calcul de la surface d'une figure géométrique : 3;4;5

• Calcul de la surface d'un triangle dont les cotés mesurent : `3`, `4`, `5`
1. La surface d'un triangle se calcule grâce à la formule de Héron : `S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)`, où a, b, c représentent la longueur des cotés et p est le demi périmètre `p=(a+b+c)/2`.
2. avec a=`3`, b=`4`, c=`5`
3. On calcule le demi-périmètre : `p=(a+b+c)/2=(3+4+5)/2=6`
4. On en déduit `S=sqrt(6*(6-3)*(6-4)*(6-5))=6`

Autres calculs sur les triangles : perimetre(3;4;5)

Formules de calcul de volumes

Volume d'une sphère (boule)

Le volume d'une sphère est donné par la formule `4/3*pi*r^3`, où r représente le rayon de la sphère. Cette formule permet par exemple de calculer le volume d'une shpère de rayon 3.

Volume d'une sphère : 3
`V=4/3*pi*(3)^3=(108*pi)/3`

Volume d'un parallélépipède rectangle

Le volume d'un parallélépipède rectangle est donné par la formule `(L*l*h)`, où L représente la longueur, l la largeur d'un coté et h la hauteur. À l'aide de cette formule, on peut calculer le volume d'un parallélépipède rectangle dont la longueur est 3, la largeur est 2, et la hauteur est 4.

Calcul de la surface d'une figure géométrique : 3;2;4

• Calcul de la surface d'un triangle dont les cotés mesurent : `3`, `2`, `4`
1. La surface d'un triangle se calcule grâce à la formule de Héron : `S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)`, où a, b, c représentent la longueur des cotés et p est le demi périmètre `p=(a+b+c)/2`.
2. avec a=`3`, b=`2`, c=`4`
3. On calcule le demi-périmètre : `p=(a+b+c)/2=(3+2+4)/2=9/2`
4. On en déduit `S=sqrt(9/2*(9/2-3)*(9/2-2)*(9/2-4))=sqrt(135/8)*sqrt(1/2)`

Autres calculs sur les triangles : perimetre(3;2;4)

Volume d'un cube

Le volume d'un cube est donné par la formule `l^3`, où l représente la longueur d'un coté. En appliquant cette formule, il est possible de trouver le le volume d'un cube qui a des cotés de longueur 3.

Volume d'un cube : 3
`V=(3)^3=27`

Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore s'énonce ainsi : Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des cotés opposés. Si on considère le triangle ABC rectangle en A, si on pose BC=a, AC=b, AB=c alors le théorème de Pythagore s'écrit `BC^2=AB^2+AC^2` ou encore `a^2=b^2+c^2`.

Le théorème de Pythagore admet une réciproque qui s'énonce ainsi : Si dans un triangle le carré d'un coté est égal à la somme des carrés des cotés opposés, alors le triangle est rectangle.

En appliquant le théorème de pythagore, il est par exemple possible de calculer la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les cotés adjacents ont pour longueur 3 et 4.

Théorème de Pythagore calculatrice : 3;4;x

• Vérifions qu'il est possible d'avoir un triangle rectangle dont l'hypoténuse serait égal à `x` et les cotés opposés à `3` et `4`.
1. Le théorème de Pythagore se traduit de la manière suivante : `(3)^2+(4)^2=(x)^2`
2. On est donc amené à résoudre une équation.
3. Etapes de résolution de l'équation : `25-x^2=0;x`


4. Le polynôme est de la forme `a*x^2+b*x+c`, `a=-1`, `b=0`, `c=25`


5. Son discriminant noté `Delta` (delta) est calculé à partir de la formule `Delta=(b^2-4ac)=(0)^2-4*(-1)*(25)=4*25=100`


6. Le discriminant du polynôme est donc égal à `100`


7. Le discriminant est positif, l'équation admet deux solutions qui sont données par `x_1=(-b-sqrt(Delta))/(2a)` , `x_2=(-b+sqrt(Delta))/(2a)`.


8. `x_1=(-b-sqrt(Delta))/(2a)=(-0-sqrt(100))/(2*-1)=(-0-10)/(2*-1)=5`


9. `x_2=(-b+sqrt(Delta))/(2a)=(-0+sqrt(100))/(2*-1)=(-0+10)/(2*-1)=-5`.


10. Les solutions de l'équation `25-x^2` sont `[5;-5]`
11. Avec la valeur `-5`, `-5<0`, `-5` n'est donc pas solution.
12. Le théorème de pythagore est vérifié pour `x=5`