Komplexen Zahlen : Merkzettel

Eine komplexe Zahl ist ein geordnetes Paar von zwei reellen Zahlen (a,b).

• a wird als der Realteil von (a,b) bezeichnet.
• b wird der Imaginärteil von (a,b) genannt.

Um eine komplexe Zahl darzustellen, verwenden wir die algebraische Notation oder algebraische Form, z=a+ib mit `i^2`=-1.

Konjugiert der komplexen Zahl

Das Konjugiert der komplexen Zahl a+i⋅b , wobei a und b reelle Zahlen sind, ist die komplexe Zahl a−i⋅b.

Berechnung das konjugiert komplex einer komplexen Zahl online : a+ib

• Berechnung der konjugiert Komplex de `a+i*b`
• Das konjugierte der komplexen Zahl `a+i*b` ist `a-b*i`

Betrag einer komplexen Zahl

Der Betrag einer komplexen Zahl z=a+ib (wobei a und b real sind) ist die positive reelle Zahl, notiert |z| , definiert durch : `|z|=sqrt(a^2+b^2)`

Argument einer komplexen Zahl

Der Plan ist mit einer direkten orthonormalen Referenzmarke versehen `(O,vec(i),vec(j))`. z sei komplexe Zahl ungleich Null und M ihr Bild. Das Argument von z, ist jedes Maß, ausgedrückt in Bogenmaß, des Winkels `(vec(i),vec(OM))`.

Trigonometrische Form einer komplexen Zahl

Eine komplexe Zahl z mit dem Argument `theta` und dem Module r, kann in ihrer trigonometrischen Form geschrieben werden `z=r(cos(theta)+i*sin(theta))`, |z| = r, arg(z) = `theta`.

Exponentialschreibweise einer komplexen Zahl

Für jedes reelle `theta`, notieren wir `e^(i*theta)` die komplexe Zahl `cos(theta)+i*sin(theta)`.

Eine komplexe Zahl z mit dem Argument 𝜃 und dem Modul r, kann in ihrer Exponentialform geschrieben werden.

Eine komplexe Zahl z mit dem Argument `theta` und dem Modul r, kann in ihrer Exponentialform geschrieben werden `z=r*e^(i*theta)`, |z| = r, arg(z) = `theta`.

Quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten

Eine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten hat in ℂ:

• Eine reelle Lösung, wenn die Diskriminante Δ=0 ist
• Zwei reelle Lösungen, wenn Δ>0
• Zwei konjugierte komplexe Lösungen, wenn und nur wenn Δ<0

Zum Beispiel hat die Gleichung `x^2+1=0`, eine negative Diskriminante, sie hat also zwei konjugierte komplexe Lösungen.

Lösen Sie komplexe Gleichungen des zweiten Grades : x^2+1=0

• Schritte zur Lösung der Gleichung : `x^2+1=0;x`


• Das Polynom hat die folgende Form `a*x^2+b*x+c`, `a=1`, `b=0`, `c=1`


• Sein Diskriminante notiertes `Delta` (delta) wird aus der Formel berechnet `Delta=(b^2-4ac)=(0)^2-4*(1)*(1)=-4=-4`


• Die Diskriminante des Polynom ist daher gleichbedeutend mit `-4`


• Die Diskriminante ist negativ, die Gleichung lässt zwei Lösungen zu, die sich aus der `x_1=(-b-i*sqrt(abs(Delta)))/(2a)` , `x_2=(-b+i*sqrt(abs(Delta)))/(2a)`.


• `x_1=(-b-i*sqrt(abs(Delta)))/(2a)=(-0-i*sqrt(abs(-4)))/(2*1)=(-0-2*i)/(2*1)=-i`


• `x_2=(-b+i*sqrt(abs(Delta)))/(2a)=(-0+i*sqrt(abs(-4)))/(2*1)=(-0+2*i)/(2*1)=i`.


• Die Lösungen der Gleichung `x^2+1=0` sind `[-i;i]`.