initiation à la résolution d'équations
Nombres premiers
Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à 2 qui n'admet pas d'autres diviseurs que 1 et lui même.
Décomposition en produit de nombres premiers
Tout entier supérieur ou égal à 2 est premier ou produit de nombres premiers.
Lorsqu'on écrit un entier comme produit de nombres premiers, on dit qu'on
décompose cet entier en produit de nombres premiers.
Opérations sur les nombres
L'addition
L'addition est l'opération qui permet de calculer la somme de deux termes.
Exemple: 343,5+45,5=389
La soustraction
La soustraction est l'opération qui permet de calculer la différence de deux termes.
Exemple : 345,34-45,30=300,04
La multiplication
La multiplication est l'opération qui permet de calculer le produit de deux facteurs.
Exemple : 1,5*6=9
Multiplier par 10 ; 100 ; 1000 ; .... revient à rajouter 1,2,3 zéros dans le cas d'un nombre entier,
à décaler la virgule vers la droite dans le cas d'un nombre décimal.
Exemple : 1000*3,4 =3400
Multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 revient à décaler la virgule vers la gauche en rajoutant des zéros si nécessaire.
Exemple :0,01*3=0,03
La division
Quotient de deux nombres entiers
Définition :
Le quotient de A par B est le nombre qui multiplié par B donne A.
A : B = 4 signifie que 4*B = A
Division euclidienne
Effectuer la division euclidienne de a par b, revient à déterminer deux nombres, le quotient (q) et le reste (r) tel que a = b*q + r .
Pourcentage
Un pourcentage est défini comme un coefficient de proportionnalité exprimé sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est 100.
Calculer p% d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par `p/100`.
Comparaison de nombres
Opérateurs de comparaison
Pour comparer 2 nombres on utilise les notations suivantes < ,=, >
< se lit 'est inférieur à'
= se lit 'est égal à'
>se lit 'est supérieur à'
Pour comparer 2 nombres décimaux, on commence par comparer leurs parties entières, en cas d'égalité on compare leurs parties décimales.
Exemple 1
Pour comparer 23,34 et 12,43 on compare les parties entières 23 est plus grand que 34 donc 23,34>12,43
Exemple 2
Pour comparer 345,456 et 345,457 on compare les parties entières, on constate qu'elles sont égales, on compare donc leurs parties décimales 456<457 donc
345,456<345,457.
Les arrondis
Arrondir un nombre revient à donner une valeur approchée de ce nombre avec un certain nombre de chiffres.
On dit qu'un nombre est arrondi par excès lorsque la valeur approchée est plus grande que ce nombre.
On
dit qu'un nombre est arrondi par défaut lorsque la valeur approchée est plus petite que ce nombre.
Nombres relatifs et repérage
Un nombre relatif est déterminé :
- par son signe
- par sa partie numérique
Un nombre positif est précédé du signe + ou d'aucun signe
Un nombre négatif est toujours précédé du signe -
0 est le seul nombre à la fois positif et négatif
Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif.
Le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif.
Le produit d'un nombre positif et d'un nombre négatif est un nombre négatif.
Repérage sur une droite
On peut utiliser les nombres relatifs pour repérer des points sur une droite. Il faut d'abord choisir une origine O et définir une unité.
A chaque point du repère on fait alors correspondre un nombre appelé abscisse de ce point.
Repérage dans le plan
Un point du plan est repéré par deux nombres relatifs, ses coordonnées :
Le premier est son abscisse.
Le second est son ordonnée.
Proportionalité
Définition de la proportionnalité
On dit qu'une suite de nombre est proportionnelle à une autre lorsqu'on passe de l'une à l'autre en multipliant chacun de ses termes par un nombre fixe.
Réciprocité de la proportionnalité
Si une suite est proportionnelle à une seconde, la seconde est proportionnelle à la première, et les coefficients de proportionnalité sont inverses l'un de l'autre. On dit que les deux suites sont proportionnelles.
Produit en croix
| a | a' |
| b | b' |
Si le tableau est un tableau de proportionnalité, alors les produits a b’ et a’ b sont égaux.
| a | a' |
| b | b' |
Réciproquement, si les produits a b’ et a’ b sont égaux, alors le tableau est un tableau de proportionnalité.