términos de una secuencia numérica definida por recurrencia con una función cuadrática
- Sea la secuencia (`u_(n)`) definida para cualquier número natural n por `u_(0)= -1 ` y `u_(n+1)` = `1+u_(n)^2`.
- Calcula `u_(2)`
- Calcula `u_(4)`
Este tipo de ejercicio se puede resolver con la función : sucesion_recurrencia
Una secuencia numérica es cualquier aplicación de ℕ o una parte de ℕ a ℝ.
Dirección de variación de una secuencia: secuencia estrictamente creciente, secuencia estrictamente decreciente
- Decir que la secuencia (`u_(n)`) es estrictamente creciente significa que :
Para cualquier número natural n, `u_(n+1)>u_(n)` - Decir que la secuencia (`u_(n)`) es estrictamente decreciente significa que :
Para cualquier n natural, `u_(n)>u_(n+1)`.
-
Para demostrar que una secuencia es creciente o decreciente:
- Podemos calcular la diferencia `u_(n+1)-u_(n)`, si esta diferencia es positiva entonces la secuencia es creciente, en caso contrario es decreciente.
- También podemos, si la secuencia es positiva y `u_n!=0`, calcular el cociente `u_(n+1)/u_(n)`, si este cociente es mayor que 1 la secuencia es creciente, en caso contrario es decreciente.
Secuencias aritméticas, secuencias geométricas
Secuencias aritméticas
Decir que una secuencia (`u_(n)`) es aritmética significa que existe un real r tal que para cualquier número natural n, `u_(n+1)`=`u_(n)`+r.
El real r se llama la diferencia de la secuencia (`u_(n)`).
Si (`u_(n)`) es una secuencia aritmética de primer término `u_(0)`, y de diferencia r. Entonces, para cualquier número natural n,`u_(n)=u_(0)+nr`
Suma de términos consecutivos de una secuencia aritmética
Si S=a+...+k es la suma de p términos consecutivos de una secuencia aritmética entonces `S = p(a+k)/2`. Deducimos que `1+2+3+...+n=n(n+1)/2`
Secuencias geométricas
Decir que una secuencia (`u_(n)`) es geométrica significa que existe un real q tal que para cualquier número natural n, `u_(n+1)`=`qu_(n)`.
El real q se llama la razón de la secuencia (`u_(n)`).
Si (`u_(n)`) es una secuencia geométrica de primer término `u_(0)`, y razón q. Entonces para cualquier n natural, `u_(n)=u_(0)*q^n`
Suma de términos consecutivos de una secuencia geométrica
Si S=a+...+k es la suma p términos consecutivos de una secuencia geométrica de razón q (`q != 1`) entonces `S = (a-k*q)/(1-q)`.
Deducimos que `1+q+q^2+...+q^n=(1-q^(n+1))/(1-q)`