términos de una secuencia numérica definida por recurrencia con una función cuadrática

Una secuencia numérica es cualquier aplicación de ℕ o una parte de ℕ a ℝ.

Dirección de variación de una secuencia: secuencia estrictamente creciente, secuencia estrictamente decreciente

• Decir que la secuencia (`u_(n)`) es estrictamente creciente significa que :
  Para cualquier número natural n, `u_(n+1)>u_(n)`
• Decir que la secuencia (`u_(n)`) es estrictamente decreciente significa que :
  Para cualquier n natural, `u_(n)>u_(n+1)`.

Para demostrar que una secuencia es creciente o decreciente:
• Podemos calcular la diferencia `u_(n+1)-u_(n)`, si esta diferencia es positiva entonces la secuencia es creciente, en caso contrario es decreciente.
• También podemos, si la secuencia es positiva y `u_n!=0`, calcular el cociente `u_(n+1)/u_(n)`, si este cociente es mayor que 1 la secuencia es creciente, en caso contrario es decreciente.

Secuencias aritméticas, secuencias geométricas

Secuencias aritméticas

Decir que una secuencia (`u_(n)`) es aritmética significa que existe un real r tal que para cualquier número natural n, `u_(n+1)`=`u_(n)`+r. El real r se llama la diferencia de la secuencia (`u_(n)`).
Si (`u_(n)`) es una secuencia aritmética de primer término `u_(0)`, y de diferencia r. Entonces, para cualquier número natural n,`u_(n)=u_(0)+nr`

Suma de términos consecutivos de una secuencia aritmética

Si S=a+...+k es la suma de p términos consecutivos de una secuencia aritmética entonces `S = p(a+k)/2`. Deducimos que `1+2+3+...+n=n(n+1)/2`

Secuencias geométricas

Decir que una secuencia (`u_(n)`) es geométrica significa que existe un real q tal que para cualquier número natural n, `u_(n+1)`=`qu_(n)`. El real q se llama la razón de la secuencia (`u_(n)`).
Si (`u_(n)`) es una secuencia geométrica de primer término `u_(0)`, y razón q. Entonces para cualquier n natural, `u_(n)=u_(0)*q^n`

Suma de términos consecutivos de una secuencia geométrica

Si S=a+...+k es la suma p términos consecutivos de una secuencia geométrica de razón q (`q != 1`) entonces `S = (a-k*q)/(1-q)`.
Deducimos que `1+q+q^2+...+q^n=(1-q^(n+1))/(1-q)`