simplifier une fraction à l'aide du pgcd
- Calculer le pgcd des nombres 4235 et 275.
- Écrire la fraction `4235/275` sous forme irréductible.
Ce type d'exercice peut être résolu à l'aide de la fonction : fraction
Définition
Pour tout couple de nombre entier a, b avec b non nul, on appelle fraction le rapport a:b, on le note `a/b`, a est appelé le numérateur et b le dénominateur.
Une fraction est aussi appelée un nombre rationnel.
- Remarque :`a/b`=a:b
- Exemple :`1/2` = 1:2 = 0,5
Simplification de fraction
Pour simplifier une fraction on commence par décomposer le numérateur et le dénominateur en produit de nombres premiers. Lorsqu'un même nombre apparaît au numérateur et au dénominateur, on peut simplifier la fraction.
Exemple : `56/32` = `(2*2*2*7)/(2*2*2*2*2)` = `7/4`
Fraction irréductible
Une fraction est dite irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Pour mettre une fraction sous sa forme irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur pgcd .
Écritures fractionnaires égales
- Lorsqu’on multiplie le numérateur et le dénominateur d’une écriture fractionnaire par un même nombre non nul, on obtient une écriture fractionnaire qui lui est égale.
- Lorsqu’on divise le numérateur et le dénominateur d’une écriture fractionnaire par un même nombre non nul, on obtient une écriture fractionnaire qui lui est égale.
Comparaison de fraction
- Égalité de fractions
- Les fractions ont le même dénominateur
- Les fractions ont les mêmes numérateurs
- Les fractions ont des numérateurs et des dénominateurs différents
Deux fractions sont égales s'il est possible de passer de l'une à l'autre en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par un même chiffre.
Il suffit de comparer les numérateurs.
La plus grande est celle qui a le plus petit numérateur.
On se ramène au cas ou les dénominateurs sont égaux en appliquant la condition d'égalité d'une fraction.
Ce sont ces techniques de calcul que le comparateur de fraction va utiliser dans cet exemple pour comparer les fractions `19/11` et `13/7`.
Addition de fractions de même dénominateur
La somme de deux fractions de même dénominateur a le même dénominateur, son numérateur est égal à la somme des numérateurs.
On a donc la formule:`a/k+b/k=(a+b)/k`
L'exemple suivant : `1/3+4/3` montre comment additionner deux fractions qui ont le même numérateur.
Addition de fractions de dénominateur différent
On réduit les fractions au même dénominateur, pour se ramener au cas de l'addition de fraction de même dénominateur.
Soustraction de fractions de même dénominateur
La différence de deux fractions de même dénominateur a le même dénominateur, son numérateur est égal à la différence des numérateurs.
On a donc la formule:`a/k-b/k=(a-b)/k`
L'exemple suivant : `4/3-2/3` montre comment soustraire deux fractions qui ont le même numérateur.
Soustraction de fractions de dénominateur différent
On réduit les fractions au même dénominateur, pour se ramener au cas de la soustraction de fraction de même dénominateur.
Produit de fractions
Le produit de deux fractions est égal au produit des numérateurs sur le produit des dénominateurs.
Exemple :
`3/4*7/3` = `21/12`
L'exemple suivant `3/4*7/5` : montre comment multiplier deux fractions.
Division de fractions
Diviser par une fraction revient à multiplier par l'inverse de cette fraction, en utilisant cette règle, il est possible de transformer un quotient de fraction en produit de fraction et d'appliquer les règles de simplification d'un produit de fractions.
Exemple:`(-8/3)/(2/3)` = `-8/3*3/2` = `-8/2` = -4