seqüências crescentes e decrescentes

Uma seqüência numérica é qualquer aplicação de ℕ ou uma parte de ℕ para ℝ.

Direção da variação de uma seqüência: seqüência estritamente crescente, seqüência estritamente decrescente

• Dizer que a seqüência (`u_(n)`) é estritamente crescente significa que :
  Para qualquer número natural n, `u_(n+1)>u_(n)`
• Dizer que a seqüência (`u_(n)`) é estritamente decrescente significa que :
  Para qualquer n natural, `u_(n)>u_(n+1)`.

Para mostrar que uma seqüência está aumentando ou diminuindo:
• Podemos calcular a diferença `u_(n+1)-u_(n)`, se esta diferença for positiva, então a seqüência está aumentando, caso contrário está diminuindo.
• Podemos também, se a seqüência for positiva e `u_n!=0`, calcular a proporção `u_(n+1)/u_(n)`, e esta proporção for maior que 1 a seqüência está aumentando, caso contrário está diminuindo.

Seqüências aritméticas, seqüências geométricas

Seqüências aritméticas

Dizer que uma seqüência (`u_(n)`) é aritmética significa que existe um r real tal que para qualquer número natural n, `u_(n+1)`=`u_(n)`+r. O real r é chamado de a razão da seqüência (`u_(n)`).
Se (`u_(n)`) for uma seqüência aritmética do primeiro termo `u_(0)`, e da razão r. Então para qualquer número natural n, `u_(n)=u_(0)+nr`

Soma de termos consecutivos de uma sequência aritmética

Se S=a+...+k é a soma dos termos p consecutivos de uma sequência aritmética então `S = p(a+k)/2`. Deduzimos que `1+2+3+...+n=n(n+1)/2`

Seqüências geométricas

Dizer que uma seqüência (`u_(n)`) é geométrica significa que existe um verdadeiro q tal que para qualquer número natural n, `u_(n+1)`=`qu_(n)`. O real q é chamado o razão da seqüência (`u_(n)`).
Se (`u_(n)`) é uma seqüência geométrica do primeiro termo `u_(0)`, e razão q. Então para qualquer n natural, `u_(n)=u_(0)*q^n`

Soma de termos consecutivos de uma seqüência geométrica

Se S=a+...+k é a soma dos termos p consecutivos de uma seqüência geométrica de razão q (`q != 1`) então `S = (a-k*q)/(1-q)`.
Deduzimos que `1+q+q^2+...+q^n=(1-q^(n+1))/(1-q)`