steigende und fallende folge

Als numerische Folge bezeichnet man jede Anwendung von ℕ oder einem Teil von ℕ nach ℝ.

Änderungsrichtung einer Folge: Strikt steigende Folge, strikt fallende Folge

• Zu sagen, dass die Folge (`u_(n)`) streng steigend ist, bedeutet, dass :
  Für jedes natürliche n gilt `u_(n+1)>u_(n)`
• Zu sagen, dass die Folge (`u_(n)`) streng fallend ist, bedeutet, dass :
  Für jedes natürliche n ist `u_(n)>u_(n+1)`.

Um zu zeigen, dass eine Folge aufsteigend oder absteigend ist :
• Man kann die Differenz `u_(n+1)-u_(n)` berechnen, wenn diese Differenz positiv ist, dann ist die Folge steigend, sonst fallend.
• Man kann auch, wenn die Folge positiv und `u_n!=0` ist, das Verhältnis `u_(n+1)/u_(n)` berechnen, wenn dieses Verhältnis größer als 1 ist, ist die Folge steigend, ansonsten ist sie fallend.

Arithmetische Folgen, geometrische Folgen

Arithmetische Folgen

Zu sagen, dass eine Folge (`u_(n)`) arithmetisch ist, bedeutet, dass es ein reelles r gibt, so dass für jedes natürliche n, `u_(n+1)`=`u_(n)`+r. Das reelle r wird als die Differenz der Folge (`u_(n)`) bezeichnet.
Wenn (`u_(n)`) eine arithmetische Folge mit dem ersten Term `u_(0)`, und der Differenz r ist. Dann ist für jedes natürliche n, `u_(n)=u_(0)+nr`

Summe aufeinanderfolgender Terme einer arithmetischen Folge

Wenn S=a+...+k die Summe von p aufeinanderfolgenden Termen einer arithmetischen Folge ist, dann `S = p(a+k)/2`. Daraus folgt, dass `1+2+3+...+n=n(n+1)/2`

Geometrische Folgen

Zu sagen, dass eine Folge (𝑢𝑛) geometrisch ist, bedeutet, dass es ein reelles q gibt, so dass für jedes natürliche n, `u_(n+1)`=`qu_(n)`. Das reelle q wird als Quotient der Folge (`u_(n)`) bezeichnet.
Wenn (`u_(n)`) eine geometrische Folge mit dem ersten Term `u_(0)`, und dem Quotienten q ist. Dann ist für jedes natürliche n, `u_(n)=u_(0)*q^n`

Summe aufeinanderfolgender Terme einer geometrischen Folge

Wenn S=a+...+k die Summe von p aufeinanderfolgenden Termen einer geometrischen Folge mit Quotient q (`q != 1`) ist, dann ist `S = (a-k*q)/(1-q)`.
Daraus folgt, dass `1+q+q^2+...+q^n=(1-q^(n+1))/(1-q)`