dérivée et équation de la tangente
- Soit f la fonction définie par f(x) = `-3*x^2-4*x-5`.
- Calculer le nombre dérivé de la fonction f au point d'abscisse 1.
- En déduire une équation de la tangente à la courbe représentant la fonction f au point d'abscisse 1.
Ce type d'exercice peut être résolu à l'aide de la fonction : equation_tangente
Fonctions numériques définition
Une fonction numérique de A vers B est définie par la donnée de :
- A: ensemble de départ
- B: ensemble d'arrivée
- et d'une correspondance permettant d'associer à tout élément x de A, un élément y de B au plus.
Parité d'une fonction.
- Une fonction est paire sur `RR` si pour tout `x in RR` f(x)=f(-x)
- Une fonction est impaire sur `RR` si pour tout `x in RR` f(-x)=-f(x)
Le calculateur de parité permet de détermine si une fonction est paire ou impaire.
Représentation graphique des fonctions numériques
On appelle courbe représentative d'une fonction numérique f l'ensemble des points de coordonnées M(x ; y), où y représente l'image de x par f. Voici, par exemple la représentation graphique de la fonction f définie par `f(x)=x^2-3` obtenue grâce à la calculatrice.
Représentation graphique d'une fonction paire.
Dans un repère orthogonal, lorsqu'une fonction est paire, l'axe des ordonnées est un axe de symétrie de sa représentation graphique.
Représentation graphique d'une fonction impaire
Dans un repère, lorsqu'une fonction est impaire, l'origine O est un centre de symétrie de la représentation graphique.
Sens de variation d'une fonction
f est une fonction et I un intervalle contenu dans son ensemble de définition.
- Dire que f est strictement croissante sur I signifie que pour tous réels u et v de l'intervalle I, l'inégalité u > v implique f(u) > f(v).
- Dire que f est strictement décroissante sur I signifie que pour tous réels u et v de l'intervalle I, l'inégalité u > v implique f(u) < f(v).
Calcul de la dérivée d'une fonction
Fonction dérivable en a et nombre dérivé en a
f est une fonction et a un point de son ensemble de définition. Dire que f est dérivable en a, et que le nombre dérivé de f en a est L, signifie que la fonction
`h -> (f(a+h)-f(a))/h` admet pour limite en zéro le nombre L.
Formules usuelles à utiliser pour le calcul de la dérivée d'une fonction
- Formule de calcul de la dérivée d'une somme de fonction : (u+v)' = u'+v'
- Formule de calcul de la dérivée d'un produit de fonction : (uv)' = u'v+uv'
- Formule de calcul de la dérivée d'une fonction multiplier par une constante : (ku)' = ku'
- Formule de calcul de la dérivée de l'inverse d'une fonction : `(1/v)'` = `-(v')/v^2`
- Formule de calcul de la dérivée du rapport de deux fonctions : `(u/v)'` = `(u'v-uv')/v^2`
Tableau des dérivées des fonctions usuelles
| deriver(`k;x`) | `0` |
| deriver(`x`) | `1` |
| deriver(`x^n`) | `n*x^(n-1)` |
| deriver(`1/x`) | `-1/x^2` |
| deriver(`1/x^2`) | `-2/x^3` |
| deriver(`sqrt(x)`) | `1/(2*sqrt(x))` |
| deriver(`abs(x)`) | `1` |
| deriver(`"arccos"(x)`) | `-1/sqrt(1-(x)^2)` |
| deriver(`"arcsin"(x)`) | `1/sqrt(1-(x)^2)` |
| deriver(`"arctan"(x)`) | `1/sqrt(1-(x)^2)` |
| deriver(`"ch"(x)`) | `sh(x)` |
| deriver(`cos(x)`) | `-sin(x)` |
| deriver(`"cotan"(x)`) | `-1/sin(x)^2` |
| deriver(`"coth"(x)`) | `-1/(sh(x))^2` |
| deriver(`exp(x)`) | `exp(x)` |
| deriver(`ln(x)`) | `1/(x)` |
| deriver(`log(x)`) | `1/(ln(10)*x)` |
| deriver(`"sh"(x)`) | `ch(x)` |
| deriver(`sin(x)`) | `cos(x)` |
| deriver(`tan(x)`) | `1/cos(x)^2` |
| deriver(`"th"(x)`) | `1/(ch(x))^2` |
En appliquant ces formules et en utilisant ce tableau, il est possible de calculer la dérivée de n'importe quelle fonction. Ce sont ces méthodes de calcul que la calculatrice utilise pour trouver les dérivées de fonction.
Equation de la tangente à une courbe en un point
C est la courbe représentative d'une fonction f dérivable en un point a.
La tangente à C au point A(a;f(a)) est la droite qui passe par A et dont le coefficient directeur est `f'(a)`.
Une
équation de la tangente
à C au point A(a;f(a)) est :
`y = f(a) + f'(a)(x-a)`.
Sens de variation et dérivée
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
- f est croissante sur I si, et seulement si sa dérivée est strictement positive pour tout x de I.
- f est décroissante sur I si, et seulement si sa dérivée est strictement négative pour tout x de I.
- f est constante sur I si, et seulement si sa dérivée s'annule pour tout x de I.
Calcul des primitives d'une fonction
Définition d'une primitive
La fonction numérique F est une primitive de la fontion numérique f sur l'intervalle D, si F est dérivable sur D, et pour tout réel x de D, F'(x)=f(x).
Formules de calcul de primitives
| primitive(`k;x`) | `kx + c` |
| primitive(`x`) | `x^2/2 + c` |
| primitive(`x^n`) | `x^(n+1)/(n+1) + c` |
| primitive(`1/x^n`) | `-1/((n-1)*x^(n-1)) + c` |
| primitive(`abs(x)`) | `x/2 + c` |
| primitive(`"arccos"(x)`) | `x*arccos(x)-sqrt(1-(x)^2) + c` |
| primitive(`"arcsin"(x)`) | `x*arcsin(x)+sqrt(1-(x)^2) + c` |
| primitive(`"arctan"(x)`) | `x*arctan(x)-1/2*ln(1+(x)^2) + c` |
| primitive(`"ch"(x)`) | `sh(x) + c` |
| primitive(`cos(x)`) | `sin(x) + c` |
| primitive(`"cotan"(x)`) | `ln(sin(x)) + c` |
| primitive(`"coth"(x)`) | `ln(sh(x)) + c` |
| primitive(`exp(x)`) | `exp(x) + c` |
| primitive(`ln(x)`) | `x*ln(x)-x + c` |
| primitive(`log(x)`) | `(x*log(x)-x)/ln(10) + c` |
| primitive(`"sh"(x)`) | `ch(x) + c` |
| primitive(`sin(x)`) | `-cos(x) + c` |
| primitive(`sqrt(x)`) | `2/3*(x)^(3/2) + c` |
| primitive(`tan(x)`) | `-ln(cos(x)) + c` |
| primitive(`"th"(x)`) | `ln(ch(x)) + c` |
Le calculateur permet d'obtenir une primitive pour de nombreuses fonctions usuelles.
Fonctions polynômes
Un polynôme (aussi appelé fonction polynôme) est une fonction définie sur `RR` qui peut être écrite sous la forme
`x -> a_n*x^n+...+ a_(n-1)*x^(n-1)+...+a_1*x+a_0` où n est un entier naturel et `a_0,a_1,...,a_n` sont des nombres réels.
Si `a_n!=0`, alors n est le degré du polynôme, il peut être obtenu avec le calculateur de degré de polynôme.
Parmi les polynômes certains ont été particulièrement étudiés, c'est le cas des polynômes de degré 2, un polynôme du second degré est fréquemment appelé trinôme du second degré. Grâce à des méthodes de calculs particulières basées sur le discriminant, il est possible de trouver les racines d'un trinôme (solution de l'équation du second degré) .
Comme pour toutes les fonctions, il est possible de tracer la courbe représentative d'une fonction trinôme, cette courbe est appelée une parabole.
Autres familles de fonctions
Parmi les autres types de fonctions remarquables, il faut également citer les fonctions trigonométriques qui sont très utilisées dans de nombreux domaines.