ableitung und gleichung der tangente
- f ist die Funktion, die durch f(x) = `3*x^2+3*x+5` definiert ist.
- Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f an der Stelle mit der Abszisse -1.
- Erstellen Sie eine Gleichung für die Tangente an die Kurve, die die Funktion f im Abszissenpunkt -1 darstellt.
Dieser Übungstyp kann mit folgender Funktion gelöst werden : gleichung_tangente
Reelle Funktionen Definition
Eine reelle Funktion von A nach B ist definiert durch die Angabe von :
- A: Startmenge
- B: Zielmenge
- und eine Abbildung, mit der jedem Element x in A höchstens ein Element y in B zugeordnet werden kann.
Gerade und ungerade Funktionen
- Eine Funktion ist auf ℝ gerade wenn `RR` für jedes `x in RR` f(x)=f(-x) gilt
- Eine Funktion ist auf ℝ ungerade wenn `RR` für alle `x in RR` f(-x)=-f(x) gilt
Mithilfe des Rechners kann man feststellen, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist.
Grafische Darstellung von reellen Funktionen
Die Menge der Punkte mit den Koordinaten M(x; y), wobei y das Bild von x durch f darstellt, wird als repräsentative Kurve einer reellen Funktion f bezeichnet. Hier ist zum Beispiel die grafische Darstellung der Funktion f, die durch `f(x)=x^2-3` definiert ist, die wir mithilfe des Taschenrechners erhalten haben.
Grafische Darstellung einer geraden Funktion.
Wenn eine Funktion in einem orthogonalen Koordinatensystem gerade ist, ist die Ordinatenachse eine Symmetrieachse ihrer grafischen Darstellung.
Grafische Darstellung einer ungeraden Funktion
Wenn eine Funktion in einem Koordinatensystem ungerade ist, ist der Nullpunkt O ein Symmetriezentrum ihrer grafischen Darstellung.
Steigende und fallende Funktionen.
f ist eine Funktion und I ein Intervall, das in seiner Definitionsmenge enthalten ist.
- Die Aussage, dass f auf I streng steigend ist, bedeutet, dass für alle reellen Zahlen u und v aus dem Intervall I die Ungleichung u > v bedeutet, dass f(u) > f(v).
- Zu sagen, dass f auf I strikt fallend ist, bedeutet, dass für alle reellen Zahlen u und v aus dem Intervall I die Ungleichung u > v bedeutet, dass f(u) < f(v).
Berechnung der Ableitung einer Funktion
Übliche Formeln, die zur Berechnung der Ableitung einer Funktion zu verwenden sind
- Formel zur Berechnung der Ableitung einer Funktionssumme : (u+v)' = u'+v'
- Formel zur Berechnung der Ableitung eines Funktionsproduktes : (uv)' = u'v+uv'
- Formel zum Berechnen der Ableitung einer Funktion multipliziert mit einer Konstanten : (ku)' = ku'
- Formel zur Berechnung der inversen Ableitung einer Funktion : `(1/v)'` = `-(v')/v^2`
- Formel zum Berechnen der Ableitung aus dem Verhältnis von zwei Funktionen : `(u/v)'` = `(u'v-uv')/v^2`
- Formel zur Berechnung der Ableitung einer zusammengesetzten Funktion : `(u@v)'= v'*u'@v`
Tabelle der Ableitungen gemeinsamer Funktionen
Es ist auch notwendig, die üblichen Funktionen zu kennen, die in der folgenden Tabelle aufgeführt sind:
| ableitungsrechner(`k;x`) | `0` |
| ableitungsrechner(`x`) | `1` |
| ableitungsrechner(`x^n`) | `n*x^(n-1)` |
| ableitungsrechner(`sqrt(x)`) | `1/(2*sqrt(x))` |
| ableitungsrechner(`abs(x)`) | `1` |
| ableitungsrechner(`"arccos"(x)`) | `-1/sqrt(1-(x)^2)` |
| ableitungsrechner(`"arcsin"(x)`) | `1/sqrt(1-(x)^2)` |
| ableitungsrechner(`"arctan"(x)`) | `1/sqrt(1-(x)^2)` |
| ableitungsrechner(`"ch"(x)`) | `sh(x)` |
| ableitungsrechner(`cos(x)`) | `-sin(x)` |
| ableitungsrechner(`"cotan"(x)`) | `-1/sin(x)^2` |
| ableitungsrechner(`"coth"(x)`) | `-1/(sh(x))^2` |
| ableitungsrechner(`exp(x)`) | `exp(x)` |
| ableitungsrechner(`ln(x)`) | `1/(x)` |
| ableitungsrechner(`log(x)`) | `1/(ln(10)*x)` |
| ableitungsrechner(`"sh"(x)`) | `ch(x)` |
| ableitungsrechner(`sin(x)`) | `cos(x)` |
| ableitungsrechner(`tan(x)`) | `1/cos(x)^2` |
| ableitungsrechner(`"th"(x)`) | `1/(ch(x))^2` |
Durch Anwendung dieser Formeln und unter Verwendung dieser Tabelle kann die Ableitung einer beliebigen Funktion berechnet werden. Es sind diese Berechnungsmethoden, die der Taschenrechner verwendet, um die Ableitungen von Funktionen zu finden.
Gleichung der Tangente an eine Kurve in einem Punkt.
C ist die repräsentative Kurve einer Funktion f, die in einem Punkt a ableitbar ist.
Die Tangente an C im Punkt A(a;f(a)) ist die Gerade, die durch A verläuft und deren Leitkoeffizient `f'(a)` ist.
Eine
Gleichung für die Tangente
an C im Punkt A(a;f(a)) ist :
`y = f(a) + f'(a)(x-a)`.
Steigende , fallende Funktionen und Differentialrechnung.
Sei f eine Funktion, die auf einem Intervall I ableitbar ist.
- f ist auf I dann und nur dann steigend, wenn seine Ableitung für jedes x in I strikt positiv ist.
- f ist auf I fallend, wenn und nur wenn seine Ableitung für jedes x in I strikt negativ ist.
- f ist über I konstant, wenn und nur wenn seine Ableitung für jedes x in I aufgehoben wird.
Berechnung der Stammfunktionen einer Funktion
Formeln zur Berechnung von Stammfunktionen
| stammfunktion(`k;x`) | `kx + c` |
| stammfunktion(`x`) | `x^2/2 + c` |
| stammfunktion(`x^n`) | `x^(n+1)/(n+1) + c` |
| stammfunktion(`1/x^n`) | `-1/((n-1)*x^(n-1)) + c` |
| stammfunktion(`abs(x)`) | `x/2 + c` |
| stammfunktion(`"arccos"(x)`) | `x*arccos(x)-sqrt(1-(x)^2) + c` |
| stammfunktion(`"arcsin"(x)`) | `x*arcsin(x)+sqrt(1-(x)^2) + c` |
| stammfunktion(`"arctan"(x)`) | `x*arctan(x)-1/2*ln(1+(x)^2) + c` |
| stammfunktion(`"ch"(x)`) | `sh(x) + c` |
| stammfunktion(`cos(x)`) | `sin(x) + c` |
| stammfunktion(`"cotan"(x)`) | `ln(sin(x)) + c` |
| stammfunktion(`"coth"(x)`) | `ln(sh(x)) + c` |
| stammfunktion(`exp(x)`) | `exp(x) + c` |
| stammfunktion(`ln(x)`) | `x*ln(x)-x + c` |
| stammfunktion(`log(x)`) | `(x*log(x)-x)/ln(10) + c` |
| stammfunktion(`"sh"(x)`) | `ch(x) + c` |
| stammfunktion(`sin(x)`) | `-cos(x) + c` |
| stammfunktion(`sqrt(x)`) | `2/3*(x)^(3/2) + c` |
| stammfunktion(`tan(x)`) | `-ln(cos(x)) + c` |
| stammfunktion(`"th"(x)`) | `ln(ch(x)) + c` |
Taschenrechner verwendet, um die Ableitungen von Funktionen zu finden.
Polynomfunktionen
Ein Polynom (auch Polynomfunktion genannt) ist eine auf ℝ definierte Funktion,
die in der Form `x -> a_n*x^n+...+ a_(n-1)*x^(n-1)+...+a_1*x+a_0` geschrieben werden kann, wobei n eine natürliche Zahl ist und `a_0,a_1,...,a_n` reelle Zahlen sind.
Wenn `a_n!=0`, dann ist n der Grad des Polynoms, er kann mit dem
Polynomgrad-Rechner ermittelt werden.
Unter den Polynomen wurden einige besonders untersucht, z. B. Polynome des Grades 2. Ein Polynom zweiten Grades wird häufig als Trinom zweiten Grades bezeichnet. Mithilfe spezieller Berechnungsmethoden, die auf der Diskriminante basieren, können die Wurzeln eines Trinoms (Lösung der Gleichung zweiten Grades) gefunden werden .
Wie bei allen Funktionen kann man auch für eine Trinomfunktion eine Kurve zeichnen, ie als Parabel bezeichnet wird.
Andere Funktionsfamilien
Zu den weiteren bemerkenswerten Funktionstypen gehören auch die trigonometrischen Funktionen, die in vielen Bereichen sehr häufig verwendet werden.