derivada e equação da tangente
- Seja f a função definida por f(x) = `-2*x^2+4*x-2'.
- Calcular a derivada da função f no ponto de abcissa -2.
- Deduzir uma equação da tangente à curva que representa a função f no ponto de abcissa -2.
Este tipo de exercício pode ser resolvido usando a função : equacao_tangente
Definição de funções reais
Uma função real de A a B é definida dando :
- A: conjunto inicial
- B: conjunto de chegada
- e uma correspondência que permite associar a qualquer elemento x de A, um elemento y de B, no máximo.
Funções ímpares e pares
- Uma função está mesmo em `RR` se para qualquer `x in RR` f(x)=f(-x)
- Uma função é estranha em `RR` se para qualquer `x in RR` f(-x)=-f(x)
A calculadora pode ser usada para determinar se uma função é par ou ímpar.
Representação gráfica de funções reais
O conjunto de pontos com as coordenadas M(x; y), onde y é a imagem de x por f, é chamado de curva representativa de uma função real f. Aqui, por exemplo, está a representação gráfica da função f definida por `f(x)=x^2-3` obtida com a calculadora.
Representação gráfica de uma função par.
Em um quadro de referência ortogonal, quando uma função é par, o eixo y é um eixo de simetria de sua representação gráfica.
Representação gráfica de uma função ímpar
Em um quadro de referência, quando uma função é estranha, a origem O é um centro de simetria da representação gráfica.
Funções crescentes e decrescentes.
f é uma função e I é um intervalo contido em seu conjunto de definições.
- Dizer que f está aumentando estritamente sobre I significa que para todos os números reais u e v no intervalo I, a desigualdade u > v implica `f(u) > f(v)`.
- Dizer que f está diminuindo estritamente sobre I significa que para todos os números reais u e v no intervalo I, a desigualdade u > v implica `f(u) < f(v)`.
Cálculo da derivada de uma função
Fórmulas usuais a serem usadas para calcular a derivada de uma função
- Fórmula para calcular a derivada de uma soma de funções: (u+v)' = u'+v'
- Fórmula para o cálculo do derivado de um produto funcional: (uv)' = u'v+uv'
- Fórmula para calcular a derivada de uma função multiplicada por uma constante: (ku)' = ku'
- Fórmula para calcular a derivada inversa de uma função: `(1/v)'` = `-(v')/v^2`
- Fórmula para o cálculo da derivada do rácio de duas funções: `(u/v)'` = `(u'v-uv')/v^2`
- Fórmula para calcular a derivada de uma função composta : `(u@v)'= v'*u'@v`
Tabela de derivadas de funções comuns
Para diferenciar uma função, é necessário conhecer as regras de cálculo e as seguintes fórmulas:
| derivada(`k;x`) | `0` |
| derivada(`x`) | `1` |
| derivada(`x^n`) | `n*x^(n-1)` |
| derivada(`1/x`) | `-1/x^2` |
| derivada(`1/x^2`) | `-2/x^3` |
| derivada(`sqrt(x)`) | `1/(2*sqrt(x))` |
| derivada(`abs(x)`) | `1` |
| derivada(`"arccos"(x)`) | `-1/sqrt(1-(x)^2)` |
| derivada(`"arcsin"(x)`) | `1/sqrt(1-(x)^2)` |
| derivada(`"arctan"(x)`) | `1/sqrt(1-(x)^2)` |
| derivada(`"ch"(x)`) | `sh(x)` |
| derivada(`cos(x)`) | `-sin(x)` |
| derivada(`"cotan"(x)`) | `-1/sin(x)^2` |
| derivada(`"coth"(x)`) | `-1/(sh(x))^2` |
| derivada(`exp(x)`) | `exp(x)` |
| derivada(`ln(x)`) | `1/(x)` |
| derivada(`log(x)`) | `1/(ln(10)*x)` |
| derivada(`"sh"(x)`) | `ch(x)` |
| derivada(`sin(x)`) | `cos(x)` |
| derivada(`tan(x)`) | `1/cos(x)^2` |
| derivada(`"th"(x)`) | `1/(ch(x))^2` |
Aplicando estas fórmulas e utilizando esta tabela, é possível calcular a derivada de qualquer função. São estes métodos de cálculo que a calculadora utiliza para encontrar as derivadas de funções.
Equação da tangente a uma curva em um ponto
C é a curva representativa de uma função f derivável em um ponto a.
A tangente a C no ponto A(a;f(a)) é a linha reta através de A cujo coeficiente de direcionamento é `f'(a)`.
Uma
equação da tangente
a C no ponto A(a;f(a)) é:
`y = f(a) + f'(a)(x-a)`.
Funções crescentes, decrescentes e cálculo diferencial.
Que f seja uma função derivável em um intervalo I.
- f está aumentando em I se, e somente se, sua derivada for estritamente positiva para qualquer x em I.
- f está diminuindo em I se, e somente se, sua derivada for estritamente negativa para todos os x de I.
- f é constante em I se, e somente se, su derivada se cancela para todos os x em I.
Calculando das primitivas de uma função
Fórmulas de cálculo das primitivas
| primitiva(`k;x`) | `kx + c` |
| primitiva(`x`) | `x^2/2 + c` |
| primitiva(`x^n`) | `x^(n+1)/(n+1) + c` |
| primitiva(`1/x^n`) | `-1/((n-1)*x^(n-1)) + c` |
| primitiva(`abs(x)`) | `x/2 + c` |
| primitiva(`"arccos"(x)`) | `x*arccos(x)-sqrt(1-(x)^2) + c` |
| primitiva(`"arcsin"(x)`) | `x*arcsin(x)+sqrt(1-(x)^2) + c` |
| primitiva(`"arctan"(x)`) | `x*arctan(x)-1/2*ln(1+(x)^2) + c` |
| primitiva(`"ch"(x)`) | `sh(x) + c` |
| primitiva(`cos(x)`) | `sin(x) + c` |
| primitiva(`"cotan"(x)`) | `ln(sin(x)) + c` |
| primitiva(`"coth"(x)`) | `ln(sh(x)) + c` |
| primitiva(`exp(x)`) | `exp(x) + c` |
| primitiva(`ln(x)`) | `x*ln(x)-x + c` |
| primitiva(`log(x)`) | `(x*log(x)-x)/ln(10) + c` |
| primitiva(`"sh"(x)`) | `ch(x) + c` |
| primitiva(`sin(x)`) | `-cos(x) + c` |
| primitiva(`sqrt(x)`) | `2/3*(x)^(3/2) + c` |
| primitiva(`tan(x)`) | `-ln(cos(x)) + c` |
| primitiva(`"th"(x)`) | `ln(ch(x)) + c` |
A calculadora permite a obtenção de uma primitiva para muitas funções comuns.
Funções polinomiais
Um polinômio (também chamado de função polinomial) é uma função definida em `RR` que pode ser escrita como
`x -> a_n*x^n+...+ a_(n-1)*x^(n-1)+...+a_1*x+a_0` m que n é um número natural e `a_0,a_1,...,a_n` são números reais.
Se `a_n!=0`, então n é o grau do polinômio, que pode ser obtido usando a
calculadora de grau polinomial.
Alguns polinômios foram estudados em particular, como os polinômios de grau 2. Um polinômio de grau 2 é geralmente chamado de trinômio de grau 2. Usando métodos de cálculo especiais baseados no discriminante, é possível encontrar as raízes de um trinômio (a solução da equação de segundo grau) .
Como em todas as funções, é possível desenhar a curva representativa de uma função trinomial. Essa curva é chamada de parábola.
Outras famílias de funções
Outros tipos notáveis de funções incluem as funções trigonométricas que são amplamente usadas em muitos campos.